Амплитудные и фазовые спектры сигналов. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов Амплитудный и фазовый спектр сигнала

В предыдущих разделах мы рассмотрели разложение периодических сигналов в ряд Фурье, а также изучили некоторые свойства представления периодических сигналов рядом Фурье. Мы говорили, что периодические сигналы можно представить как ряд комплексных экспонент, отстоящих друг от друга на частоту рад/c, где — период повторения сигнала. В результате мы можем трактовать представление сигнала в виде ряда комплексных гармоник как комплексный спектр сигнала. Комплексный спектр, в свою очередь, может быть разделен на амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала.

В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1

Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.

Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:

Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида .

Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя :

Где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.

Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.

Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:

Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:

Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше , тогда решением уравнения будет

Тогда огибающая обращается в ноль если

На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .

Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .

Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .

Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов

Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).

Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр

Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .

Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .

Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Смещенный сигнал можно представить как сигнал , задержанный на половину длительности импульса . Спектр смещенного сигнала можно представить согласно свойству циклического временного сдвига как:

Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель . Амплитудный и фазовый спектры показаны на рисунке 5.

Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов

Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.

Выводы

В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.

Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.

Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

Не так давно товарищ Makeman описывал , как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.

Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.

Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.

Что будем делать.
Использовать спектральный анализ для того, чтобы определить:

• количество гармоник в составе сигнала, а для каждой: амплитуду, частоту (далее в контексте числа длин волн на длину сигнала), начальную фазу;
• наличие/отсутствие белого шума, а при наличии, его СКО (среднеквадратическое отклонение);
• наличие/отсутствие постоянной составляющей сигнала;
• всё это оформить в красивенький PDF отчёт с блэкджеком и иллюстрациями.

Будем решать данную задачу на Java.

Матчасть

Как я уже говорил, структура сигнала заведомо известна: это сумма синусоид и какая-то шумовая составляющая. Так сложилось, что для анализа периодических сигналов в инженерной практике широко используют мощный математический аппарат, именуемый в общем «Фурье-анализ» . Давайте кратенько разберём, что же это за зверь такой.

Немного особой, Фурье-магии

Не так давно, в 19 веке, французский математик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую функцию, удовлетворяющую некоторым условиям (непрерывность во времени, периодичность, удовлетворение условиям Дирихле) можно разложить в ряд, который в дальнейшем получил его имя - ряд Фурье .

В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.

Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.

Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье .
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром .
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье - в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра - это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы - соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр и фазовый спектр .

Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.

Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.

Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию - спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) .

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.

Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.

Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.

Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции - F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).

На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:

Рис. 3. Эффект растекания спектра.

Этот эффект именуют также растеканием спектра (англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками (англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков (дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.

Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.

Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.

Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.

Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.

Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.

Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование .

Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w 0 – w гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.

Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.

Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.

Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:

Автоматизируй это

Пришло время для автоматизации выделения гармоник. Повторим ещё разочек алгоритм:

1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.

Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос - откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.

Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат - количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:

Рис. 7. Функция распределения гармоник.

Теперь построим еще и функцию - плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.

Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.

Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.

Посмотреть на кусок кода, детектирующий гармоники в составе сигнала

public ArrayList detectHarmonics() { SignalCutter cutter = new SignalCutter(source, new Signal(source)); SynthesizableComplexExponent heterodinParameter = new SynthesizableComplexExponent(); heterodinParameter.setProperty("frequency", 0.0); Signal heterodin = new Signal(source.getLength()); Signal heterodinedSignal = new Signal(cutter.getCurrentSignal()); Spectrum spectrum = new Spectrum(heterodinedSignal); int harmonic; while ((harmonic = spectrum.detectStrongPeak(min)) != -1) { if (cutter.getCuttersCount() > 10) throw new RuntimeException("Unable to analyze signal! Try another parameters."); double heterodinSelected = 0.0; double signalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); for (double heterodinFrequency = -0.5; heterodinFrequency < (0.5 + heterodinAccuracy); heterodinFrequency += heterodinAccuracy) { heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinFrequency); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); double newSignalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); if (newSignalToNoise > signalToNoise) { signalToNoise = newSignalToNoise; heterodinSelected = heterodinFrequency; } } SynthesizableCosine parameter = new SynthesizableCosine(); heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinSelected); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); parameter.setProperty("amplitude", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmonic))); parameter.setProperty("frequency", harmonic - heterodinSelected); parameter.setProperty("phase", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmonic), 1)); cutter.addSignal(parameter); cutter.cutNext(); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()); spectrum.recalc(); } return cutter.getSignalsParameters(); }

Практическая часть

Я не претендую на звание эксперта Java, и представленное решение может быть сомнительным как по части производительности и потреблению памяти, так и в целом философии Java и философии ООП, как бы я ни старался сделать его лучше. Написано было за пару вечеров, как proof of concept. Желающие могут ознакомиться с исходным кодом на

Набор гармоник, образующих ряд Фурье (4.10) в тригоно­метрической форме, называют спектром периодического сигна­ла , а наборы амплитудU m k и начальных фазэтих гармо­ник - спектрамиамплитуд и фаз . Каждую гармонику:

можно отобразить двумя вертикальными линиями. Для этого на одной оси частот необходимо отложить значение частоты этой гармоники и изобразить вертикальную линию высотой, рав­ной амплитуде гармоникизатем на другой оси частот на частоте этой же гармоникиизобразить вторую вертикальную линию, равную по высоте начальной фазе гармоники.

Ряд Фурье (4.3) можно переписать в виде

Учитывая, что функция косинуса периодична с периодом 2 = 360°, т.е. ее значения повторяются через 360°, можно вы­честь целое число периодов из фазы гармонических составляю­щих. Тогда получим еще одну форму записи ряда (4.3):

Эти ряды можно изобразить графически. Гармоники этого сигнала, входящие в формулу (4.3), показаны на временных диа­граммах рис. 4.1, б -д. Другой способ графического изображе­ния составляющих ряда Фурье для сигнала на рис. 4.1, а приве­ден на рис. 4.5,а – в. Амплитуды гармоник убывают по закону, гдеп - номер гармоники, а фазы гармоник изменяются по законуn где- фаза первой гармоники.

Для смещенной на четверть периода периодической последо­вательности прямоугольных импульсов (рис. 4.3, а ) формула ря­да Фурье (4.6) может быть видоизменена, если вспомнить, что знак «минус» перед гармоническим колебанием означает поворот колебания по фазе на 180°:

Рис. 4.5. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.12) и (4.13)

Начальные фазы колебаний в ряде (4.14) поочередно прини­мают значения 0 и 180°. Графическое изображение ряда (4.14) дано на рис. 4.5, а и б.

Вертикальные линии на рис. 4.5 и 4.6 получили название спектральных линий , а наборы этих линий, или, что то же, на­боры амплитуди фазгармоник в (4.10), образуютспек­тры амплитуд и фаз данного сигнала.

Рис. 4.6. Амплитуды и фазы гармоник сигнала (4.14)

Радиоинженерам знакомы приборы – анализаторы спектров, которые откликаются на каждую гар­монику, входящую в состав сигнала сложной формы и позволяющие их измерять.

Таким образом, спектр амплитуд - это набор амплитуд гармоник , , , ... (включая постоянную и ос­новную составляющие), входящих в ряд Фурье, записанный в тригонометрической форме (4.10), а спектр фаз - это набор начальных фаз,, … этих гармоник. Комплексные ам­плитуды из (4.12) образуют комплексный спектр сигнала u (t ).

Анализ спектрального (гармонического) состава периодиче­ских сигналов - это вычисление амплитуд и начальных фаз гармонических составляющих ряда Фурье. Обычно для вычисления указанных величин используется форма записи ряда Фурье (4.2):

Покажем, что форма записи (4.15) эквивалентна форме запи­си (4.7).

Из приведенных выше рассуждений следует, что для анализа спектрального состава сигнала достаточно знать, как вычислять величины , U " mn иU ’ mn в выражении (4.15).

Из формул (4.2) мы знаем, что постоянная составляющая ряда вычисляется как среднее значение функции:

Коэффициенты U " mk иU "" mk вычисляются как средние взве­шенные значения с весамиcosk иsinсоответственно:

Поскольку, то

Применяя формулу Эйлера

получаем окончательно выражение для комплексного спектра сиг­нала:

На спектр сигнала влияет не только форма сигнала, но и его параметры. Лучше всего рассмотреть это влияние на кон­кретном примере, а проще всего – на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов. В достаточно общем случае эта последовательность изображена на рис. 4.7,а. Пери­од повторения импульсов обозначенТ", а отношение периода к длительности импульсов" называютскважностью и обозначают.

Вычисление коэффициентов ряда Фурье в тригонометриче­ской форме по формулам (4.16) - (4.18) приводит нас к записи (см. табл. 4.1)

где U 0 =U / q и

Рис. 4.7. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 3 и ее спектр

Спектр амплитуд такой периодической последовательности со скважностью q = 3 изображен на рис. 4.7,б.

При значениях k , кратных скважностиq импульсной после­довательности, функцияпринимает нулевые значения и гармоники с этими номерами имеют нулевые амплитуды (в нашем примере сk = 3,6, 9, ...). Частота первой гармоники определяет­ся по формуле

Для гармоник с номерами k , для которых амплитудапо­ложительная, фазовый уголравен нулю; для гармоник же с номерамиk , для которых величинаокажется отрицатель­ной, фазовый угол принимает значение 180° (рис. 4.7, в).

Рассмотрим влияние на спектр последовательности прямо­угольных импульсов таких ее параметров, как период и длитель­ность импульса.

От величины периода зависит прежде всего частота основной гармоники, т.е. ее местоположение в спектре. Если мы будем, на­пример, увеличивать период импульсной последовательности (рис. 4.7, а ), то частота первой гармоникибудет уменьшаться.

Это приведет к сгущению спектральных линий (рис. 4.8, б ив ). Скважность импульсов будет также увеличи­ваться с ростом периода (в нашем примереq = 5), следовательно, обращаться в нуль будут гармоники с более высокими номерами, кратнымиq (k = 5, 10, 15, ...). Амплитуды всех гармоник умень­шатся.

Рис. 4.8. Последовательность прямоугольных импульсов со скважностью q = 5 и ее спектр

С другой стороны, если период последовательности оставлять неизменным (например, ), а длительность импульсов, скажем, уменьшать (например, до величины, как на рис. 4.9,а ), то первая гармоника не будет менять свое местоположение в спектре сигнала. С ростом же скважности в нуль будут обращаться, как и ранее, гармоники с номерами, кратнымиq (на рис. 4.8,б приk = 5,10,15,… ).

Рис. 4.9. Влияние длительности импульсов на спектр сигнала

Рис. 4.10. Влияние длительности импульсов и периода их повторения на спектр сигнала

На рис. 4.10, показан случай, когда подверглись изменению и период, и длительность импульса. Предлагаем читателям про­анализировать данную ситуацию самостоятельно. Примеры решения задач по расчету периодических сигналов также приведены в .

Хотя мы проанализировали довольно частные примеры, ха­рактерное поведение спектра наблюдается и для других видов пе­риодических импульсных последовательностей. Оно заключается в следуюoем:

При увеличении периода последовательности Т частота первой гармоникиуменьшается и спектральные линии сгущаются; наоборот, при уменьшении периода частота первой гармоники увеличивается и спектральные линии становятся реже;

Чем короче импульсы в последовательности, тем медленнее убы­вают с ростом номера п амплитуды гармоник; наоборот, чем шире импульсы, тем быстрее убывают амплитуды высших гармоник.

Основные положения изложенных в п. 4.2 материалов.

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T , который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными . Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

негармонического сигнала

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k - ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

(2.1)

где k - номер гармоники; - угловая частота k - ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T - угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица 2

График f (t )	Ряд Фурье функции f (t )	Примечание
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		k=1,3,5,...
		k=1,2,3,4,5
		S=1,2,3,4,..
		k=1,2,4,6,..

Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды посредством схем, использующих вентильные элементы.

Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный и фазовый спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.

Следует заметить, что начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0 до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными . Спектральные линии находятся на расстоянии f друг от друга, где f - частотный интервал, равный частоте первой гармоники f .Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные составляющие с кратными частотами - f , 2f , 3f , 4f , 5f и т.д.

Пример 2.1. Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы, когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее значение функции за период равно нулю

u (t ) = Vпри0<t <T /2

u (t ) = -VприT /2<t <T

Для сигналов простыхчасто используемых форм решение целесообразно находить с помощью таблиц.

Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала

Из разложения в ряд Фурье сигнала прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис. 2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения) равна одному вольту: B; тогда амплитуда третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет только нулевые значения ординат.

Задача решена.

Пример 2.2. Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T /4<t <T /4; u (t ) = 0 при T /4<t <3/4T . Такой сигнал формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.

а)б)

Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый

Для сигнала однополупериодного выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем (2.2)

Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б.

Задача решена.

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T , то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T . Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.

Понятие "сигнал" можно трактовать по-разному. Это код или знак, переданный в пространство, носитель информации, физический процесс. Характер оповещений и их связь с шумом влияют на его дизайн. Спектры сигналов можно классифицировать несколькими способами, но одним из наиболее фундаментальных является их изменение во времени (постоянные и переменные). Вторая основная классификационная категория - частоты. Если рассмотреть во временной области более подробно, среди них можно выделить: статические, квазистатические, периодические, повторяющиеся, переходные, случайные и хаотические. Каждый из этих сигналов обладает определенными свойствами, которые могут влиять на соответствующие проектные решения.

Типы сигналов

Статический по определению является неизменным в течение очень длительного периода времени. Квазистатический определяется уровнем постоянного тока, поэтому его необходимо обрабатывать в схемах усилителя с низким дрейфом. Этот тип сигнала не возникает на радиочастотах, потому что некоторые подобные схемы могут создавать уровень неменяющегося напряжения. Например, непрерывное волновое оповещение с постоянной амплитудой.

Термин «квазистатический» означает «почти неизменный», поэтому относится к сигналу, который необычайно медленно изменяется в течение длительного времени. Он обладает характеристиками, более похожими на статические оповещения (постоянные), чем динамические.

Периодические сигналы

Это те, которые точно повторяются на регулярной основе. Примеры периодических сигналов включают синусоидальные, квадратные, пилообразные, треугольные волны и т. д. Характер периодической формы указывает на то, что она идентична в одинаковых точках вдоль временной линии. Другими словами, если идет продвижение по временной линии ровно на один период (T), то напряжение, полярность и направление изменения формы волны будут повторяться. Для формы напряжения это можно выразить формулой: V (t) = V (t + T).

Повторяющиеся сигналы

Являются квазипериодическими по природе, поэтому имеют некоторое сходство с периодической формой волны. Основное различие между ними обнаруживается путем сравнения сигнала при f (t) и f (t + T), где T - это период оповещения. В отличие от периодического оповещения, в повторяющихся звуках эти точки могут быть не идентичными, хотя они будут очень похожи, так же, как и общая форма волны. Рассматриваемое оповещение может содержать либо временные, либо стабильные признаки, которые варьируются.

Переходные сигналы и импульсные сигналы

Оба вида являются либо одноразовым событием, либо периодическим, в котором продолжительность очень коротка по сравнению с периодом формы волны. Это означает, что t1 <<< t2. Если бы эти сигналы были переходными процессами, то в радиочастотных схемах намеренно генерировались бы в виде импульсов или переходного режима шума. Таким образом, из вышеизложенной информации можно сделать вывод, что фазовый спектр сигнала обеспечивает колебания во времени, которые могут быть постоянными или периодическими.

Ряды Фурье

Все непрерывные периодические сигналы могут быть представлены основной синусоидальной волной частоты и набором косинусных гармоник, которые суммируются линейно. Эти колебания содержат формы зыби. Элементарная синусоидальная волна описывается формулой: v = Vm sin(_t), где:

• v - мгновенная амплитуда.
• Vm - пиковая амплитуда.
• "_" - угловая частота.
• t - время в секундах.

Период - это время между повторением идентичных событий или T = 2 _ / _ = 1 / F, где F - частота в циклах.

Ряд Фурье, который составляет форму волны, можно найти, если заданная величина разлагается на ее составляющие частоты либо банком частотно-избирательных фильтров, либо алгоритмом цифровой обработки сигналов, называемым быстрым преобразованием. Также может быть использован способ построения с нуля. Ряд Фурье для любой формы волны может быть выражен формулой: f(t) = a o/2+ _ n -1 }