Чувствительность систем автоматического управления. Машинные методы анализа АЭУ

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров: где координаты системы; параметр системы.93 можно записать Следовательно располагая функциями чувствительности и задаваясь вариациями параметров можно определить первое приближение для дополнительного движения.99 называются уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности.

Чувствительность систем автоматического управления .

Параметры системы автоматического управления в процессе работы не остаются равными расчетным значениям. Это объясняется изменением внешних условий, неточностью изготовления отдельных устройств системы, старением элементов и т. п. Изменение параметров САУ, т. е. изменение коэффициентов уравнений системы, вызывает изменение статических и динамических свойств системы.

Зависимость характеристик системы от изменения каких-либо ее параметров оценивают чувствительностью. Под чувствительностью понимают свойство системы изменять режим работы вследствие отклонения каких-либо параметров от номинальных значений. Для числовой оценки чувствительности используют функции чувствительности, определяемые как частные производные от координат системы или показателей качества процессов управления по вариациям параметров:

где — координаты системы; — параметр системы.

Индекс 0 означает, что функция вычисляется при номинальных значениях параметров.

Система, значения параметров которой равны номинальным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а движение в ней — основным движением. Система, в которой имеют место вариации параметров, называются варьированной системой, а движение в ней — варьированным движением. Разность между варьированным и основным движениями называют дополнительным движением.

Допустим, что исходная система описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

Пусть в некоторый момент времени в системе произошли вариации параметров где тогда параметры станут равными. Если вариации параметров не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное движение описывается новой системой уравнений первого порядка

Разность решений уравнений (4.94) и (4.95) определяет дополнительное движение:

Если дифференцируемы по то дополнительное движение (4.96) можно разложить в ряд Тейлора по степеням При малых вариациях параметров ограничимся в разложении лишь линейными членами. Нужно отметить, что в случае конечных вариаций такое приближение недопустимо. Итак, можно записать уравнения первого приближения для дополнительного движения:

Учитывая формулу (4.93), можно записать

Следовательно, располагая функциями чувствительности и задаваясь вариациями параметров, можно определить первое приближение для дополнительного движения.

Продифференцируем уравнения исходной системы (4.94) по

Полученные линейные дифференциальные уравнения (4.99) называются уравнениями чувствительности. Решение их дает функции чувствительности. Следует заметить, что в силу

Рис. 4.42

сложности уравнений (4.99) их решение весьма затруднительно.

М. Л. Быховским предложен структурный метод построения модели для определения функций чувствительности .

Для определения функций чувствительности можно использовать уравнения системы или ее передаточные функции.

Пусть САУ описывается уравнением

где — собственный оператор системы;

— оператор воздействия

Запишем уравнения чувствительности, продифференцировав (4.100) по

при

По уравнению (4.101) можно представить структурную схему модели чувствительности для определения функции (рис. 4.42). Эту схему можно упростить.

Пусть общей частью операторов является оператор, а операторов — оператор. Тогда можно записать

Подставляя выражения (4.102) и (4.103) в (4.101), можно переписать уравнение чувствительности так:

Структурная схема модели чувствительности в соответствии с (4.104) показана на рис. 4.43. В этой модели выделена

Рис. 4.43

общая часть для определения всех функций. Дополнительные блоки модели (рис. 4.43) реализуют операторы, с общей частью они соединены переключателем П. Как видно из схемы рис. 4.43, функция чувствительности координаты х определяется последовательно во времени по всем параметрам. Для одновременного определения всех функций чувствительности по параметрам используем передаточные функции системы .

Выходная координата системы связана с задающим воздействием зависимостью

где — передаточная функция системы; — изображение по Лапласу выходной и входной величин.

Определим изображение функции чувствительности дифференцируя (4.105) по

где — передаточная функция элемента, параметром которого является

Рис. 4.44

Обозначим общую часть через тогда

а для функции чувствительности можно записать

или

На рис. 4.44 показана схема модели для одновременного определения функций чувствительности по параметрам. Рассмотренный метод позволяет упростить модель чувствительности за счет упрощения общей части модели, в частности общая часть может быть представлена пропорциональным звеном. Подобное упрощение модели используется в беспоисковых системах оптимизаций.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
19163.		Отдельные узлы низкотемпературных устройств	120.5 KB
	ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРИОГЕННЫХ УСТРОЙСТВ Лекции 13 14 Отдельные узлы низкотемпературных устройств 13.1. Гелиевая емкость Гелиевая емкость рис. 13.1 является одним из основных узлов гелиевого криостата и состоит из трубки подвеса 1 крышки 2 обечайки 3 днища 4. Все
19164.		Компактные криорефрижераторы	615 KB
	ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРИОГЕННЫХ УСТРОЙСТВ Лекция 15 Компактные криорефрижераторы В последнее время для получения низких температур все чаще стали использоваться компактные криорефрижераторы криокулеры. Основное преимущество этих устройств заключается в от
19165.		Элементы вакуумной техники	714 KB
	ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРИОГЕННЫХ УСТРОЙСТВ Лекция 15 Элементы вакуумной техники Теплоизоляция криостатов как и всех систем предназначенных для работы с жидким гелием осуществляется вакуумированием сосудов. Поэтому разрабатываемые конструкции должны удовлетво
19166.		Введение. Технологичность конструкции	1.43 MB
	Лекция №1 Введение. Технологичность конструкции Технология искусство мастерство умение логия совокупность методов обработки изготовления изменения состояния свойств формы сырья материалов или полуфабриката осуществляемых в процессе производства проду
19167.		Обеспечение качества и эксплуатационной надежности изделий	1008.5 KB
	Лекция 2 Обеспечение качества и эксплуатационной надежности изделий Соответствие технических требований и норм точности служебному назначению Поскольку технические требования и нормы точности изделия являются отражением ее служебного назначения то приступая...
19168.		Топливные циклы ядерных реакторов. Материалы сердечника твэлов	48.5 KB
	Топливные циклы ядерных реакторов. Материалы сердечника твэлов Ядерным топливом принято считать материал содержащий нуклиды которые делятся при взаимодействии с нейтронами. Делящимися нуклидами являются: находящийся в природном уране изотоп 235U изотопы плутония 23...
19169.		Конструкционные материалы твэлов и ТВС	282 KB
	ЛЕКЦИЯ 4 Конструкционные материалы твэлов и ТВС В лекции рассматриваются конструкционные материалы используемые для оболочек твэлов. Оболочка твэла работает в очень сложных напряженных условиях в течение длительного времени при высоких параметрах теплоносител
19170.		Твэлы и ТВС энергетических реакторов	348 KB
	Лекция 5 Твэлы и ТВС энергетических реакторов В нашей стране разработаны и успешно эксплуатируются три типа энергетических реакторов: канальный водографитовый реактор РБМК1000 РБМК1500; корпусной реактор с водой под давлением ВВЭР1000 ВВЭР440; реактор н
19171.		Твэлы и ТВС исследовательских, транспортных и транспортабельных реакторов	1.84 MB
	Лекция 6 Твэлы и ТВС исследовательских транспортных и транспортабельных реакторов По сравнению с энергетическими реакторами к твэлам исследовательских и транспортных реакторов предъявляются дополнительные требования связанные со спецификой их эксплуатации: ...

УДК 330.131.7

Котов В.И.

инвестиционного проекта к рискам

Для количественной оценки устойчивости инвестиционного проекта к воздействию рисковых событий можно использовать функции чувствительности . Однако в экономической литературе нередко пишут (например, в ) что существенным недостатком этого метода «является его однофакторность, т. е. ориентированность на изменения только одного фактора проекта, что приводит к недоучету возможной связи между отдельными факторами или недоучету их корреляции». Как будет показано далее, данный недостаток вполне преодолим, если при выборе совокупности риск-параметров (факторов) выделить те из них, для которых взаимозависимость существенна, и учесть ее. Большинство же факторов являются практически независимыми и непосредственный расчет чувствительности по ним вполне обоснован.

Еще одно замечание по поводу использования термина «чувствительность». Для выбранной целевой функции путем поочередного изменения риск-параметров обычно определяют их предельно допустимые значения. Приведенный алгоритм такого расчета реализован в программном пакете Project Expert 6 и некоторые авторы почему-то называют его анализом чувствительности проекта. В дается следующее определение: «Анализ чувствительности. Метод, показывающий как изменяется один фактор в зависимости от другого...». Строго говоря, это не анализ чувствительности, а просто анализ зависимости функции Y от нескольких переменных, образующих вектор х. Заметим, что под чувствительностью в теории систем понимают соответствующие дифференциальные показатели , а именно: абсолютная чувствительность некоторой целевой функции Y(t,x) определяется как ее частная производная по риск-параметру x(i, t):

Возможности метода анализа рисков на основе функций чувствительности, на наш взгляд,

недооценены. В данной статье будет представлена компьютерная модель для расчета функций чувствительности, рассмотрены виды и свойства этих функций. Показано, что подход к чувствительности как динамической характеристике в пределах всего горизонта планирования дает важную информацию о влиянии рисковых событий на финансовые показатели инвестиционных проектов.

Определение и модель расчета функций чувствительности

Вначале дадим определение функции чувствительности. Обозначим целевую функцию проекта через У(г, х), где г - время, х(г) - вектор варьируемых параметров, которые моделируют влияние тех или иных рисковых событий. Относительная чувствительность целевой функции есть отношение относительного отклонения функции к относительному отклонению аргумента (риск-параметра):

^ _ дУ / У _ АУ / У _ А7

Х дх; / X; Аx¡ / X; У АХ;

Здесь и далее время для простоты опущено. В силу того, что относительные чувствительности безразмерны, они более удобны для анализа, поэтому в дальнейшем будем использовать только их, а прилагательное «относительные» для краткости будем опускать. Чем больше чувствительность, тем сильнее оказывает влияние соответствующий риск-параметр на целевую функцию инвестиционного проекта. Численно функция чувствительности показывает: на сколько процентов изменится целевая функция при изменении риск-параметра на один процент.

В экономической теории имеется понятие, аналогичное чувствительности - «эластичность» (спроса и пр.), которое вычисляется по формуле подобной (2). Эластичность как показатель характеризует внешнюю среду бизнеса и обычно

Рис. 1. Блок-схема модели расчета функций чувствительности

не рассматривается как функция времени, а является статическим параметром. Мы будем придерживаться термина «чувствительность», во-первых, потому, что она характеризует внутреннюю среду бизнеса и является характеристикой инвестиционного проекта, а во-вторых, чтобы не путать известный контекст использования термина «эластичность» с динамической характеристикой чувствительности при анализе влияния рисков.

Приведем блок-схему модели расчета функций чувствительностей, в основе которой лежит динамическая модель финансовых потоков проекта (рис. 1). Данная модель была реализована в среде электронных таблиц EXCEL и позволяла одновременно проводить расчеты для пяти вариантов целевых функций, о которых речь пойдет далее.

Здесь основная модель Cash-Flow служит для расчета выбранного сценария инвестиционного проекта, т. е. для получения всех необходимых показателей и значения выбранной целевой функции (одной или нескольких) в ситуации Status Quo. Копия модели служит для расчета измененного значения целевых функций под действием какого-либо риск-параметра.

Из основной модели в копию автоматически (с помощью соответствующих ссылок) передаются все константы. В копии предусмотрено поочередное изменение риск-параметров и выбор длительности воздействия каждого риска. Теперь если в копии изменить какой-либо риск-параметр, то на ее выходе получим измененное значение целевой функции. В блок расчета функций чувствительности из основной модели

поступают исходные значения риск-параметра и целевой функции, а из копии - соответствующие измененные значения. В итоге на основе (2) получаем функции чувствительности в виде таблиц и соответствующих графиков для всего горизонта планирования.

Целевые функции проекта

Выбор целевой функции во многом зависит от вкусов и желаний разработчиков бизнес-плана инвестиционного проекта. В качестве целевой функции можно предложить различные показатели, например:

NPV(T) - чистая текущая стоимость проекта к моменту Т;

Накопленный чистый дисконтированный финансовый поток (Accumulated Discount Net Cash-Flow) ADNCF(T), генерируемый проектом к моменту Т;

Накопленный чистый финансовый поток (Accumulated Net Cash-Flow) ANCF(T), генерируемый проектом к моменту Т (без учета дисконтирования);

Накопленная чистая прибыль (Accumulated Net Profit) ANP(T), генерируемая проектом к моменту Т;

Накопленное сальдо финансовых потоков (состояние расчетного счета проекта) (Accumulated Saldo Cash-Flow) ASCF(T) к моменту Т.

При выборе целевой функции можно использовать не накопленные показатели, а показатели финансовых результатов в отдельных периодах. Однако мы отдаем предпочтение накопленным

показателям, так как это позволяет более строго учесть последствия рисковых событий после окончания их действия в течение всего горизонта планирования.

Сравнение чувствительностей накопленного чистого денежного потока и его дисконтированного аналога показало, что они почти совпадают, так как различия составляли лишь доли процента. Это не удивительно, поскольку при расчете функции чувствительности по (2) дисконтированию подвергаются как числитель (АУ), так и знаменатель (У), что частично приводит к компенсации процедуры дисконтирования.

Если МРУ(Т) используется в качестве целевой функции, то следует иметь в виду, что вблизи точки окупаемости, когда МРУ = 0, функция чувствительности терпит разрыв второго рода, т. е. обращается в бесконечность по определению (2). Это затрудняет использование МРУ в качестве целевой функции вблизи указанной точки, однако вне ее расчетных проблем не возникает.

Если в качестве целевой функции выбрать накопленное сальдо финансовых потоков, то получим

У (х, Т) _ £ [ (х, г) - С^ (х, г)]. (3)

Знание функций чувствительности этой целевой функции будет весьма полезным для оперативного управления состоянием расчетного счета проекта в условиях влияния рисков.

Локальная и глобальная функции чувствительности

При расчете функций чувствительности следует различать краткосрочное и долгосрочное воздействие рисковых событий. Соответственно определим два вида функций чувствительности.

Локальная чувствительность - чувствительность при локальном (краткосрочном во времени) влиянии риск-параметра, т. е. когда отклонение имеет место только в течение одного или нескольких периодов существенно меньших общего горизонта планирования, как показано на рис. 2, а.

Глобальная чувствительность - чувствительность при глобальном (длительном во времени) влиянии риск-параметра, т. е. когда отклонение может иметь место по всему горизонту

планирования, начиная с некоторого момента (рис. 2, б).

Какой из приведенных вариантов чувствительности следует выбрать, зависит от того, как долго будут действовать те или иные рисковые события в реальной ситуации.

Здесь уместна аналогия с анализом реакции линейных систем на основе импульсных и переходных характеристик последних . Если в качестве единичного воздействия в момент т используется дельта-функция Дирака 8(г - т), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна импульсной характеристике системы g(t - т). Если в качестве единичного воздействия в некоторый момент времени используется функция Хэвисайда (единичный скачок) 1(г - т), то реакция системы при нулевых начальных условиях будет численно равна переходной характеристике системы Н(г - т).

В нашем случае роль дельта-функции может играть локальный во времени скачок риск-параметра ЫХ(г - т), тогда реакция инвестиционного проекта будет пропорциональна локальной чувствительность LS(t - т) на заданное воздействие. Функции Хэвисайда 1(г - т) будет соответствовать глобальное во времени изменение риск-параметра ОйХ(г - т), что даст реакцию пропорциональную глобальной функции чувствительности 08(г - т). На рис. 3 приведены соответствующие функциональные аналогии.

Как известно , для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, а именно: реакция системы на совокупность воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. На основе этого принципа, зная характеристики системы g(t) или Н(г), можно найти и связь между ними, и реакцию системы на воздействие любого вида. В нашем случае из принципа суперпозиции можно получить связь между глобальными и соответствующими локальными функциями чувствительности. Пусть время меняется дискретно:

г = 0, 1, 2, ... п, ... М,

где г = М - горизонт планирования; г = к - момент начала воздействия глобального риска; г = к + ], (] = 0, 1, ... п - к) - моменты существования локальных рисков; г = п > к + ] - произвольный (текущий) момент наблюдения реакции системы на заданное воздействие.

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

т Ш и И "Ч---*----- п п п........

6 7 8 Период

10 11 12 13 14 15

\ " ^ -1>--О--0 0 0 0 0-- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Рис. 2. Отклонение значений целевой функции а - при локальном и б - при глобальном воздействии

1 - -О; 2 - х + ах; 3 - У; 4 - У + аУ

Линейная система

Финансовая модель

А ЬБ(г - т) (локальная чувствительность)

Линейная система

Финансовая модель

GdX(г - т) ИП

А GS{г - т) (глобальная чувствительность)

Рис. 3. Аналогии с линейными системами: а - локальная, б - глобальная

Тогда глобальную чувствительность, описывающую реакцию системы на воздействие глобального рискового события, начавшегося в момент г = к и длящегося вплоть до горизонта планирования, можно выразить как суперпозицию локальных чувствительностей, соответствующих совокупности воздействий локальных (длительностью в один период) рисков, появляющихся в моменты от г = к и до г = к + / (/ = 0, 1, ... п - к):

ОБ7^ (п - к) _ (п - к - /), п > к + /. (4)

Следует заметить, что локальные функции чувствительности всегда быстрее убывают, чем одноименные глобальные функции, для всех периодов времени. Это объясняется тем, что локальное действие какого-либо риска длится короткое время, а глобальный риск (равный сумме локальных рисков) действует все время с момента его возникновения и эффект от него накапливается от периода к периоду. Можно говорить, что функции глобальной чувствительности отражают стратегические последствия влияния длительных отклонений параметров на инвестиционный проект. В то же время локальные чувствительности отражают тактические последствия краткосрочных изменений во внешней и внутренней среде бизнеса. Локальные функции чувствительности чаще всего имеют максимум в момент возникновения воздействия того или иного риска и далее относительно быстро убывают по сравнению с глобальной чувствительностью по тому же риск-параметру.

При использовании аналитического аппарата анализа линейных систем следует иметь в виду, что финансовая модель инвестиционного проекта может не быть строго линейной, однако, как показали эксперименты на множестве различных инвестиционных проектов, даже в широких пределах вариаций риск-параметров точность анализа чувствительностей оставалась вполне приемлемой. В и предлагается помимо чувст-вительностей первого порядка (2) использовать чувствительности второго порядка в случаях, когда нелинейность целевой функции по каким-либо риск-параметрам существенна и ею пренебречь нельзя.

Свойства функций чувствительности

Если в качестве риск-параметров выбираются цены продаж производимых товаров в ходе реализации инвестиционного проекта, то в каждом периоде планирования целевая функция (например, накопленный чистый финансовый поток в случае двух товаров) будет иметь вид

У _ а(+ р^) + Ь,

где р12 - цены; 612 - натуральные объемы продаж. Если в качестве риск параметров выбрать выручку от каждого товара р1б1, то с помощью (2) получаем функции чувствительности для рассматриваемого периода:

Нетрудно видеть, что отношение этих функций чувствительности будет равно отношению объемов продаж в денежном выражении соответствующих товаров в данном периоде. Следовательно, структура функций чувствительности по объемам продаж будет в точности соответствовать самой структуре объемов продаж в денежном выражении:

Это вывод справедлив для любого количества товаров, входящих в ассортимент. Если отдельные группы товаров, имеющиеся в ассортименте, имеют различные ставки НДС, то сделанный выше вывод будет справедлив, если в расчетах чувствительности и в расчетах структуры объемов продаж будут использованы цены без НДС. Указанное свойство (7) функций чувствительности позволяет существенно уменьшить объем вычислений последних в случае широкого ассортимента товаров, когда необходимо знать чувствительности по всем товарам.

Рассмотрим знак функции чувствительности. Функция чувствительности будет положительной для всех моментов времени, если с увеличением (уменьшением) отклонения риск-параметра значение целевой функции увеличивается (уменьшается) при условии положительности самой целевой функции. Так, например, чувствительности

Рис. 4. Функции чувствительности сальдо финансовых потоков проекта 1,2, 3 - объемы продаж соответственно; 4 - условно-постоянные и 5 - условно-переменные затраты

накопленного сальдо финансовых потоков к ценам и натуральным объемам продаж произведенных товаров всегда положительны, а чувствительности той же целевой функции к отклонениям любых издержек, а также к банковским ставкам по кредитам всегда отрицательны. Исключением из этого правила будут периоды, когда вместо чистой прибыли имеются убытки. На рис. 4 показаны примеры функций чувствительности.

Как видим, наиболее «опасным» является восьмой период проекта, так как в этом периоде все функции чувствительности будут максимальны. В такие периоды внимание менеджеров к ходу реализации проекта должно быть наибольшим, чтобы удерживать показатели эффективности близкими к запланированным.

Если в качестве целевой функции выбрана МРУ, то ее чувствительность к ценам или натуральным объемам продаж произведенных товаров в «мертвой зоне» (при МРУ < 0) будет отрицательной, а после срока окупаемости - положительной. Знаки чувствительности МРУ к издержкам будут обратными.

Особенности функций чувствительности к колебаниям цен и натуральных объемов продаж

При определении функций чувствительности мы до сих пор полагали, что все риск-параметры являются независимыми. Данное

предположение для большинства параметров вполне оправданно, однако в ряде случаев взаимной зависимостью пренебречь нельзя. Например, если среди множества риск-параметров есть цены р и натуральные объемы продаж Q товаров, произведенных в рамках инвестиционного проекта, то при расчете таких функций чувствительности, как накопленное сальдо финансовых потоков, накопленный чистый финансовый поток (с дисконтированием или без такового) или МРУ, необходимо учесть зависимость 2(р). Если указанную зависимость оценить затруднительно, то при анализе чувствительно-стей в качестве риск-параметров можно выбрать натуральные объемы продаж (0 или выручку от каждой товарной группы (pQ). Для этих риск-параметров указанные целевые функции являются линейными.

Таким образом, функции чувствительности как динамические характеристики инвестиционного проекта совместно с показателями эффективности дают более полную картину для сравнения проектов или сценариев между собой. По рассчитанным функциям чувствительности можно определить те периоды «жизни» инвестиционного проекта, когда влияние риск-параметров наибольшее, т. е. наиболее «опасные» стадии реализации проекта. Как показали многочисленные расчеты, экстремальные значения всех функций чувствительности для выбранного проекта практически совпадают по времени.

Кроме того, сравнивая между собой функции чувствительности по отдельным риск-параметрам, можно ранжировать риски и выявить среди них наиболее существенные, на которых следует сосредоточить основное внимание менеджеров про-

екта. Если построена модель финансового прогноза с блоком анализа чувствительности, то можно провести имитационное моделирование влияния совокупности риск-параметров на выбранную целевую функцию инвестиционного проекта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Котов В.И. Анализ рисков инвестиционных проектов на основе чувствительности и теории нечетких множеств. СПб.: Судостроение, 2007. 128 с.

2. Котов В.И., Ловцюс В.В. Разработка бизнес-плана: Учеб. пособие. СПб.: Линк, 2008. 136 с.

3. Риск-анализ инвестиционного проекта: Учебник для вузов / Под ред. М.В. Грачевой. М.: Юнити-Дана, 2001. 351 с.

4. Бизнес-анализ с помощью Microsoft Excel: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2005. 464 с.

5. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е.Н. Розенвассера и Р.М. Юсупова. Л.: Энергия. 1971. 344 с.

6. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Сов. радио, 1972.

7. Kuruc A. Financial Geometry // A geometric approach to hedging and risk management. Pearson Education Limited, 2003. 381 p.

8. System sensitivity and adaptivity. Preprints Second IFAC Symposium, Dubrovnih, Ygaslavia, 1968.

9. Tomavic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963.

10. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний): Пер. с англ. / Под ред. Г.С. Поспелова. М.: Наука, 1970. 704 с.

Радиометрические и фотометрические единицы можно связать между собой при помощи функции чувствительности человеческого глаза V(X), иногда называемой функцией световой эффективности. В 1924 г. Международная комиссия по освещению, МКО (CIE), ввела понятие функции чувствительности человеческого глаза в режиме фотопического зрения для точечных источников излучения и угла наблюдения 2° (CIE, 1931). Эта функция, получившая название функции МКО 1931 г., до сих пор является фотометрическим стандартом в США 0.

Джудд и Вое в 1978 г. ввели модифицированную функциюV{\) (Vos, 1978; Wyszeckl, Stiles, 1982, 2000), которая в этой книге будет называться функцией МКО 1978 г. Изменения были связаны с не совсем правильной оценкой чувствительности человеческого глаза в голубом и фиолетовом диапазонах спектра, принятой в 1931 г. Модифицированная функция F(A) в спектральном диапазоне длин волн меньше 460 нм имеет более высокие значения. МКО одобрила введение функции У(Л) 1978 г. постановив, что «функцию чувствительности человеческого глаза для точечных источников излучения можно представлять в виде модифицированной функции У(А) Джудда» (CIE, 1988). Более того, в 1990 г. МКО вынесла резолюцию: «в случаях проведения измерений яркости в диапазоне коротких длин волн, согласованных с определением цвета, наблюдателем, расположенным по нормали к источнику излучения, предпочтительнее пользоваться модифицированной функцией Джудда» (CIE, 1990).

На рис. 16.6 показаны функцииV{X) МКО 1931 г. и 1978 г. Максимальная чувствительность глаза приходится на длину волны 555 нм, находящуюся в зеленой области спектра. На этой длине волны чувствительность глаза равна 1, т. е. У(555 нм) = 1. Видно, что в функции У (А) МКО 1931 г. занижена чувствительность человеческого глаза в голубой области спектра (А < 460 нм). В приложении 16.П1 приведены численные значения функций У (А) 1931 г. и 1878 г.

‘) Этот стандарт действует и в России.

На рис. 16.6 также показана функция У"(А) чувствительности человеческого глаза для режима скотопического зрения. Пик чувствительности в режиме скотопического зрения приходится на длину волны 507 нм. Это значение намного меньше длины волны максимума чувствительности в режиме фотопического зрения. Численные значения функцииV"{\) МКО 1951 г. приведены в приложении 16.П2.

Отметим, что, хотя в ряде случаев функция У (Л) МКО 1978 г. является предпочтительной, она все же не относится к категории стандартов, поскольку изменение стандартов часто приводит к возникновению неопределенностей. Однако несмотря на это, на практике она используется довольно часто (WyszeckiandStiles, 2000). Функцию У(Л) МКО 1978 г., показанную на рис. 16.7, можно считать наиболее точным описанием вариаций чувствительности человеческого глаза в режиме фотопического зрения.

Для нахождения функции чувствительности человеческого глаза используется метод минимальной вспьшки, являющийся классическим способом сравнения источников света по яркости и определения

Рис. 16.6. Сравнение функций чувствительности человеческого глазаV{\) МКО 1978 и 1931 годов для фотопического режима зрения. Здесь также показана функция чувствительности глазаV"{\) в режиме скотопического зрения, которая используется при низких уровнях внешней освещенности

Рис. 16.7. У(Л) (левая ось ординат) и световая отдача измеренная в люменах на ватт оптической мощности (правая ось ординат). Максимум чувствительности человеческого глаза приходится на длину волны 555 нм (данные МКО, 1978)

функции У(А). В соответствии с этим методом небольшая круглая светоизлучающая поверхность поочередно (с частотой 15 Гц) осве- шается источниками эталонного и сравниваемого цветов. Поскольку частота слияния цветовых оттенков ниже 15 Гц, цвета чередующихся сигналов будут неразличимы. Однако частота слияния входных сигналов по яркости всегда выше 15 Гц, поэтому, если два цветовых сигнала различаются по яркости, наблюдается видимая вспышка. Цель исследователя - регулировать цвет тестируемого источника излучения до тех пор, пока наблюдаемая вспышка не станет минимальной.

Изменением распределения спектральной мощности излучения Р(Л) можно добиться получения любого желательного цветового оттенка. Один из вариантов этого распределения характеризуется максимально возможной световой отдачей. Добиться предельной световой отдачи можно смешением излучения определенной интенсивности от двух монохроматических источников света (МаеAdam, 1950). На рис. 16.8 показаны максимально достижимые значения световой отдачи, получаемые при помощи одной пары монохроматических источников излучения. Максимальная световая отдача белого света зависит от цветовой температуры. При цветовой температуре

Рис. 16.8. Взаимосвязь между максимально возможной световой отдачей (лм/Вт) и координатами цветности {х,у) на цветовой диаграмме МКО 1931 г.

6500 К она составляет ~ 420 лм/Вт, а при более низких цветовых температурах она может превысить ~ 500 лм/Вт. Точное значение световой отдачи определяется положением интересующего оттенка в пределах диапазона белого цвета на цветовой диаграмме.

Действительные значения параметров системы управления практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.

Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы.

параметра,.

или мастные производные от используемого критерия качества / поэтому параметру,

Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равными значениям, соответствующим поминальным (расчетным) параметрам.

Функции чувствительности временных характеристик. Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.

Варьированной системой называют такую систему у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.

Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка

Если изменения параметров не вызывают изменения

порядка дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора.

Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения

Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям

Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.

может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.

приводит к так называемым уравнениям чувствительности

Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности .

параметра.

В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени па выходе системы. Так, если передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)

■ 1(0 па выходе будет

даст функцию чувствительности по этому параметру

Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка

то уравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.

связана с задающим воздействием зависимостью

Изображение задающего воздействия.

Здесь введена функция чувствительности передаточной функции

Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра а. не меняет порядка характеристического уравнения системы.

Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительности

Передаточная функция реального объекта P(s) может изменяться в процессе функционирования на величину ДP(s),например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости в автоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п. Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов. Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта ДP/P на передаточную функцию замкнутой системы Gcl

y(s) = r(s), Gcl(s) = (8)

найдём дифференциал dGcl:

Поделив обе части этого равенства на Gcl и подставив в правую часть Gcl = PR/(1+PR), получим:

Рисунок 17 - Оценка запаса по усилению и фазе для системы с годографом, показанным на рисунке 15

Из (10) виден смысл коэффициента S - он характеризует степень влияния относительного изменения передаточной функции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть S является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта. Поскольку коэффициент S = S(jщ) является частотно-зависимым, его называют функцией чувствительности .

Как следует из (10),

Введём обозначение:

Величина T называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности , поскольку S + T = 1. Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна G = PR, а замкнутой Gcl = PR/(1+PR), то их отношение Gcl/G = S. Аналогично для разомкнутой системы передаточная функция от входа возмущений d на выход замкнутой системы равна (см. ) P(s)/(1 + P(s)R(s)), а разомкнутой - P(s), следовательно, их отношение также равно S. Для передаточной функции от входа шума измерений n на выход системы можно получить то же отношение S.

Таким образом, зная вид функции S(jщ) (например, рисунок 18), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замыкания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором |S(jщ)| > 1, после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых |S(jщ)| < 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума Ms модуля функции чувствительности (рисунок 18):

Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости sm (рисунок 15). Для этого обратим внимание на то, что |1 + G(jщ)| представляет собой расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки на годографе функции G(jщ). Следовательно, минимальное расстояние от точки [-1, j0] до

функции G(jщ) равно:

Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что sm = 1/Ms. Если с ростом частоты модуль G(jщ) уменьшается, то, как видно из рисунка 15, (1- sm) ? 1/gm. Подставляя сюда соотношение sm = 1/Ms, получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:

Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности :

Например, при Ms = 2 получим gm ? 2 и? 29°.

Рисунок 18 - Функции чувствительности для системы с годографами, показанными на рисунке 13

Робастность - это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях её параметров, вызванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются её постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность - это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметров объекта.

Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (10). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на запас устойчивости.

Для оценки влияния больших изменений параметров объекта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых:

P = P0 + ДP, (17)

где P0 - расчётная передаточная функция, ДP - величина отклонения от P0, которая должна быть устойчивой передаточной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой системы можно представить в виде G = RP0 + RДP = G0 + RДP. Поскольку расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки A на годографе невозмущённой системы (для которой ДP = 0) равно |1 + G0| (рисунок 19), условие устойчивости системы с отклонением петлевого усиления RДP можно представить в виде:

|RДP| < |1+G0|,

где T - дополнительная функция чувствительности (12). Окончательно можно записать соотношение:

которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину ДP(jщ).

Сокращение нулей и полюсов. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы G = RP является произведением двух передаточных функций, которые в общем случае имеют и числитель, и знаменатель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат в правой полуплоскости или близки к ней. Поскольку в реальных условиях, когда существует разброс параметров, такое сокращение выполняется неточно, то может возникнуть ситуация, когда теоретический анализ приводит к выводу, что система устойчива, хотя на самом деле при небольшом отклонении параметров процесса от расчётных значений она становится неустойчивой.

Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта.

Рисунок 19 - Пояснение к выводу соотношения (18)

Вторым эффектом сокращения полюсов является появление существенного различия между временем установления переходного процесса в замкнутой системе при воздействии сигнала уставки и внешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора при воздействии не только сигнала уставки, но и внешних возмущений.

Безударное переключение режимов регулирования. В ПИД-регуляторах могут существовать режимы, когда их параметры изменяются скачком. Например, когда в работающей системе требуется изменить постоянную интегрирования или когда после ручного управления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, если не принять специальных мер. Поэтому возникает задача плавного («безударного») переключения режимов работы или параметров регулятора. Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение параметра выполнятся до этапа интегрирования. Например, при изменяющемся параметре Ti = Ti (t) интегральный член можно записать в двух формах:

I(t) = или I(t) = .

В первом случае при скачкообразном изменении Ti (t) интегральный член будет меняться скачком, во втором случае - плавно, поскольку Ti (t) находится под знаком интеграла, значение которого не может изменяться скачком.

Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИД-регулятора (см. подраздел «Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора») и в последовательной форме ПИД-регулятора , где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздействия.